数据的表示与运算

进制与编码（详细讲解）

1. 进制基础

• 二进制：逢二进一，只有0和1。例如：1011₂ = 1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=11₁₀
• 八进制：逢八进一，0~7。例如：157₈ = 1×8²+5×8¹+7×8⁰=111₁₀
• 十六进制：0~9,A~F，逢十六进一。例如：2F₁₆ = 2×16¹+15×16⁰=47₁₀

2. 进制转换

• 十进制转二进制：除2取余法，从下往上写余数。例如：156₁₀ → 10011100₂
• 二进制转十进制：权展开法。例如：1101₂ = 1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰=13₁₀
• 二进制转八/十六进制：每3/4位一组，直接换算。

3. 常见编码

• ASCII：7位或8位编码，A=65，a=97
• Unicode/UTF-8：支持全球字符，1~4字节变长编码
• BCD码：每4位二进制表示1位十进制数字，常用于金融

易错点

• 进制转换顺序：除基取余法要从下往上写
• 二进制分组时要从低位开始分组

定点数与浮点数（详细讲解）

1. 定点数

• 原码：最高位为符号位，0正1负，其余为数值本身。例如：+7原码=00000111，-7原码=10000111
• 反码：正数反码=原码，负数反码=符号位不变，其余位取反。例如：-7反码=11111000
• 补码：正数补码=原码，负数补码=反码+1。例如：-7补码=11111001
• 补码的优点：统一了加减法电路，只有一个0，简化硬件设计

2. 浮点数

• IEEE 754单精度浮点数：32位=1符号+8阶码+23尾数
• 表示方法：(-1)^S × 1.M × 2^(E-127)
• 例：-5.75的IEEE 754表示
  -5.75₁₀ = -101.11₂ = -1.0111 × 2²
  符号位S=1，阶码E=127+2=129=10000001₂，尾数M=011100000...
  最终：1 10000001 01110000000000000000000

易错点

• 补码溢出：注意符号位变化
• 浮点数精度丢失：二进制无法精确表示所有小数

常用运算（详细讲解）

1. 补码加减法

• 补码加减法：直接按位相加，溢出时丢弃最高位
• 溢出判断：同号相加得异号即溢出
• 例：8位补码，-35+20
  -35补码=11011101，20补码=00010100，相加=11110001，符号位1，结果为-15

2. 逻辑运算

• 与（AND）：两个都为1才为1
• 或（OR）：有一个为1就为1
• 非（NOT）：0变1，1变0
• 异或（XOR）：相同为0，不同为1

3. 乘除法与移位

• 移位乘法：左移一位等于乘2，右移一位等于除2
• 补码乘法：同样用补码规则

易错点

• 补码加减法时，注意溢出判断和符号位变化
• 逻辑运算与移位运算的优先级